1. 研究目的与意义
随着数学的发展，新的学科分支不断出现。支撑这些新学科的基本空间也从实数空间、欧氏空间、广义实数空间、度量空间、赋范线性空间、内积空间等发展到拓扑空间等。在微积分中，经常会出现“开集”，“闭集”，“连续”，“邻域”，“收敛”，“极限点”等概念。在平时的学习中通常会默认这些概念都是在欧氏拓扑下定义的。事实上，在同一个集合中不同的拓扑结构下定义的上述概念是不同的。比如: 给实数集合赋予平庸拓扑，则任何序列都是收敛的，而且任何点都是极限点，这和在欧氏拓扑下实数空间中得到的结论大相径庭。拓扑空间是拓扑学的重要研究对象，各种各样拓扑空间的构造一直是数学工作者关心的问题。利用不同的拓扑的结构，可以得到一些既新奇有趣又丰富多彩的数学结论。
2. 研究内容和预期目标
本文介绍以下几种构成拓扑空间的常见方法：由基构成的拓扑空间、由一部分子集构成的拓扑空间。基构成的拓扑空间主要讨论基和邻域基的构成方法；一部分子集构成的拓扑空间主要讨论闭集和开集的构成方法。对这几种常见拓扑空间、拓扑性质的研究，加深对这些空间拓扑性质的认识。
写作提纲：
1、引言
3. 国内外研究现状
拓扑结构一词涵盖了开集，闭集，邻域，闭包，导集，滤子等若干概念。从这些概念出发，许多数学家们给出了若干种拓扑空间的等价定义。各种各样的拓扑空间构成方法由Hausdorff第一次系统地提出。目前，拓扑空间的构成方法主要有子集奠基法、划分成基法、度量诱导法、等价导商法、拓扑变易法、积拓扑生成法等等。各种各样拓扑空间的构造是一项有意义的工作，研究分析拓扑空间的构成对拓扑学的发展也有重要的影响。
4. 计划与进度安排
2022.11.15-2022.12.20 熟悉课题，查找相关文献资料；
2022.12.20-2022.12.25 文献检索及文献总结，形成思路；
2022.12.25-2022.12.31 开始并完成开题报告；
5. 参考文献
[1] 熊金城，《点集拓扑讲义》，人民教育出版社，1981.
[2] 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，1996.
[3] Hausdorff，F. , Mengenlehre, Berlin 1927.
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