1. 研究目的与意义
梁结构按照跨数可分为单跨梁和多跨梁两种常见形式。梁结构在航天、航海、建筑、桥梁、水利等工程领域的应用十分广泛，梁结构特别是多跨梁结构的振动特性一直是学者们多年来所关心的热点问题。目前，国内外对于梁的振动特性研究比较广泛，主要研究方法包括模态叠加法、传统傅里叶级数展开法、数值法和解析法等。多跨梁结构的振动特性研究主要集中在双跨梁结构上，鲜有对双跨以上梁结构的研究。主要研究方法包括差分法、动态刚度矩阵法和模态叠加法,其中模态叠加法通过振型叠加进行求解；数值法通过数值手段离散控制微分方程及边界控制条件进行求解；差分法通过建立系统差分离散方程进行求解。
单跨梁是梁的一种较为简单和基本的结构形式，就是两端各有一个位移约束的梁。单跨梁主要有以下三种形式，即简支梁、伸臂梁、悬臂梁和两端固定梁。对于单跨梁的振动特性研究，除了矩阵传递法，目前为解决传统傅里叶级数在边界处存在导数不连续和收敛性较差的问题,有相关文献提出使用改进傅里叶级数，在求解过程中,首先建立梁的能量表达式,再通过瑞利-里兹法对其进行求解,最后使用数值计算软件对其进行数值仿真验证,可以有效改善其解的收敛性与准确性。当边界条件改变时不需要对理论推导与数学计算过程重新推导,实现了单跨梁结构振动特性最为一般情况的预报。
对于多跨梁的振动特性研究，主要集中在双跨梁结构上，鲜有对双跨以上梁结构的研究。主要研究方法包括差分法、动态刚度矩阵法和模态叠加法,其中模态叠加法通过振型叠加进行求解；数值法通过数值手段离散控制微分方程及边界控制条件进行求解，如差分法通过建立系统差分离散方程进行求解。目前已有的研究是首先将梁的弯曲位移函数以改进傅立叶级数进行表示,在结构两端边界与耦合边界处引入横向位移弹簧和旋转约束弹簧,通过改变其刚度值大小来模拟任意边界条件与耦合条件。此外,正弦函数的引入能够改善以往求解过程在边界处存在的不连续或者跳跃现象。在求解框架中,先通过能量原理对整个结构进行能量描述,然后结合瑞利-里兹法对其进行求解。桥梁工程中广泛使用的多跨连续梁桥为研究对象，ZHANG Liang.提出了瑞利﹣里兹( Rayleigh - Ritz ）法中连续梁桥位移试函数的一般表达式，以契比雪夫多项式为级数函数，计算了桥梁各低阶自振频率的近似解，与 ANSYS 有限元结果进行比较分析，对近似解的精度进行比较分析，验证所提近似算法的准确性。
2. 研究内容和预期目标
研究内容：
（1）综述静力梁函数求解梁板结构自由振动特性研究的历史与现状，明确需要进一步研究的问题。目前，已有相关研究以著名的结构力学分析方法—李兹法为基础，创造性地提出了以静力梁函数作为基函数，研究梁、板结构的动力学特性，本次课题也将用静力梁函数来具体研究单跨和多跨梁的振动特性。
（2）基于阶跃函数、微分方程解析方法、瑞利-里兹法对单跨欧拉梁自由振动问题进行综合求解。在作积分变换时，对于分段定义的原函数和像函数必须分段处理，利用阶跃函数可将分段定义的函数表示成统一的形式，将函数切割或将分段定义的函数统一地表示成定义在整个数轴上的函数，常使变换简捷容易。
3. 研究的方法与步骤
研究方法：
（1）文献研究法 ，查阅大量关于梁的自由振动特性分析和精确解析解以及相关静力梁函数的应用，通过收集整理总结，了解有关问题的历史和现状，帮助确定研究课题，进一步了解了如何利用静力梁函数研究单跨和多跨梁的自由振动问题。
（2）数学方法，用数学工具Mathematica等数学软件对研究对象进行一系列量的处理，从而作出正确的说明和判断，得到以数字形式表述的成果。
4. 参考文献
[1]黄永强，赵晓云. 弹性动力学中的瑞利-里兹法[J]. 河北理工学院学报, 1996, 018(002):62-66.
[2] ZHANG Liang. 多跨连续梁桥竖向有载频率研究[J]. 江苏建筑, 2010(001):31-33.
[3] Zhou D , Lo S , Au F , et al. Vibration analysis of rectangular Mindlin plates with internal line supports using static Timoshenko beam functions[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2002, 44(12):2503-2522.
5. 计划与进度安排
（1）2月20日-3月12日 文献检索，提交开题报告（第1-3周）；
（2）3月13日-4月16日 论文研究，提交外文翻译初稿（第4-8周）；
（3）4月17日-5月14日 论文研究，提交论文初稿（第9-12周）；
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