1. 研究目的与意义
背景：近年来，超声振动在脆硬材料精密加工中的应用越来越广泛。由于弯曲振动模式具有更好的声匹配性，在超声加工装置中采用弯曲振动模式，或者弯曲振动和纵向、扭转复合振动模式，加工效率高且质量更好，正成为超声加工领域的重要发展趋势之一[1]。诸多研究表明，带弯曲振动模式的超声装置对于超声加工至关重要。超声变幅杆作为超声振动装置的核心部件，其纵向和扭转振动研究目前已趋于成熟，而弯曲振动由于其振动规律的复杂性，使得该技术不够完善和系统，导致其实际应用受到限制[2]。超声变幅杆是功率超声设备中的关键部件，主要实现能量的传输和聚能[3]，按其结构一般分为阶梯形杆和连续变截面杆。对于大多数具有较高的工作稳定性和较大的抗弯刚度要求的场合，连续变截面杆应用更普遍。在放大系数要求不高时，又以圆锥形变幅杆最为适用，其弯曲振动固有频率的计算对于其在超声加工中的应用至关重要，对于阶梯形杆的弯曲振动，通过求解简单的常系数微分方程可求得其固有频率的精确值［4］，对于连续变截面杆的弯曲振动固有频率计算方法的研究，目前只见到半精密解法[5]和矩阵解法［6］，其原理都是基于分段思想把一段变截面杆近似看成若干段等截面杆的组合，利用等截面杆的固有频率计算方法通过矩阵传递求出整段杆的固有频率。此法适用于各种类型的变截面杆，可以得到一定精确度的固有频率近似值，但计算过程很复杂，计算量庞大。在超声振动系统的设计过程中，也往往需要根据特定边界条件和给定的振动频率设计变幅杆的结构尺寸，即主动设计。目前有限元分析法在给定结构尺寸的模态分析方面较精确，但在设计给定弯曲振动频率的杆件尺寸时一般只能通过试凑法。作为一种被动设计过程，该方法显得过程繁琐且工作量庞大。变截面梁固有频率的计算还没有一般可适用的方法。目前对此领域的研究主要有以下成果：严日明, 刘德福, 陈涛,等以 Euler-Bernoulli 杆理论为基础，通过研究连续变截面杆的弯曲振动方程，并以圆锥形超声变幅杆为例，直接求解四阶变系数线性微分方程，得到杆的弯曲振动方程通解，从而得到不同边界条件下的圆锥形变幅杆弯曲振动固有频率[7]。 蒙永红, 贺西平, 崔晓娟,等将其纵向振动与弯曲振动进行复合，使杆进行椭圆运动（选择杆的弯曲振动频率和纵向振 动 频率 一 致）从 而 有 利 于 超 声 加 工。利 用Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ理论和 Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ理论推 导 了 相应的弯曲振动方程，并得到方程的通解。又利用有限元软件数值计算了其弯曲振动频率[8]。李继民, 董云峰最小余能原理的应用较好地解决了同时考虑弯矩、剪力两种内力形式作用的计算这类复杂问题，它保留了最小势能原理中的某些优点，同时能得到令人满意的结果[9]。
目的及意义：变幅杆广泛应用于超声加工中，研究变幅杆的弯曲振动特性对于有效控制变幅杆的弯曲振动有着重要意义。超声变幅杆纵 向振动时会出现弯曲振动，影响振动系统的稳定性， 严重时会出现啸振，甚至停振。为了解弯曲振动，需获得变截面杆的频率方程。通过研究连续变截面杆的弯曲振动方程，并以圆锥形超声变幅杆为例， 直接求解四阶变系数线性微分方程，得到杆的弯曲振 动方程通解，从而得到不同边界条件下的圆锥形变幅杆弯曲振动固有频率。可用于不同材料、不同尺寸、不同阶次下的弯曲振动固有频率求解。在得到精确度较高的弯曲振动固有频率解的同时，为弯曲振动、纵弯复合、扭弯复合振动圆锥形变幅杆的设计提供了理论基础，拓宽了圆锥形变幅杆在超声加工中的应用。2. 研究内容和预期目标
| 主要研究内容： 1. 应用瑞利-里兹法进行理论阶梯形变截面杆的自由振动问题计算，建立形式合理、求解简便的位移函数。通过运用数学计算软件求得变截面阶梯型及锥形杆的固有频率。 2. 应用对弯曲挠度的微分方程进行锥形变截面杆的自由振动问题的解析求解，用特殊函数表示，结合边界条件得到固有频率方程并分析。
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3. 研究的方法与步骤
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